Janko Latschev
Vorlesung "Funktionentheorie", Sommersemester 2016
Funktionentheorie beschäftigt sich mit dem Studium komplex differenzierbarer Funktionen und ihrer Eigenschaften. Während die grundlegenden Definitionen durchaus parallel zur reellen Analysis entwickelt werden können, treten hier jedoch schnell völlig neue Phänomene auf, welche eine eigenständige Behandlung erfordern und viele interessante Anwendungen haben. Sogar manche Probleme der reellen Analysis werden über den Umweg "ins Komplexe" einfacher lösbar.
Die Vorlesung bietet eine Einführung in das Thema für Studierende der Mathematik und des Lehramts Mathematik, ist aber auch als vertiefender Einblick für Studierende anderer Fächer geeignet, welche gewisse Grundkenntnisse der reellen Analysis besitzen. Vorrangiges Ziel ist die Bereitstellung der grundlegenden Sätze (Integralformel von Cauchy, Residuensatz, Riemannscher Abbildungssatz, usw.), einschließlich typischer Anwendungen. Daneben werden einige geometrische Aspekte behandelt.
Hinweise zur Klausur
Der erste Klausurtermin ist am Mittwoch, 20. Juli von 10:00 bis 12:00 Uhr im Hörsaal B der Chemie, Martin-Luther-King-Platz 6 (also hier).
Das Deckblatt zur Klausur erklärt die Spielregeln, bitte lesen Sie es schon jetzt in Ruhe durch.
Für jede der 7 Aufgaben wird es 4 Punkte geben.
Übungsblätter (Abgabetermin für Hausaufgaben in Klammern):
Blatt 1 (19.4.)
Blatt 2 (26.4.)
Blatt 3 (3.5.)
Blatt 4 ((H14) präzisiert am 7.5., Abgabe: 10.5.)
Blatt 5 (24.5.)
Blatt 6 (31.5.)
Blatt 7 (7.6.)
Blatt 8 (14.6.)
Blatt 9 (21.6.)
Blatt 10 (28.6.)
Blatt 11 (5.7.)
Blatt 12 (12.7.)
In der letzten Übungsstunde gibt es keine Präsenzaufgaben. Stattdessen haben Sie Gelegenheit für Fragen zum gesamten Vorlesungsstoff.
Literatur zur Vorlesung:
Die Links zu den Büchern funktionieren nur im Uni-Netz.
Logbuch:
| 12.04. | Die komplexen Zahlen, verschiedene Interpretationen, Realteil, Imaginärteil, Betrag, Polarkoordinaten, Rechtfertigung über Eigenschaften der Exponentialfunktion, Argument als Abbildung nach R/2πZ, Hauptzweig des Arguments, komplexer Logarithmus, Wurzeln komplexer Zahlen, Einheitswurzeln; C als metrischer Raum
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| 14.04. | Definition komplexe Differenzierbarkeit, elementare Eigenschaften der Ableitung, Definition holomorphe Funktion; Vergleich mit reeller Differenzierbarkeit, Cauchy-Riemann-Gleichungen, Folgerungen: nichtverschwindende Ableitungen holomorpher Funktionen sind orientierungserhaltend und winkeltreu
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| 19.04. | graphische Darstellung holomorpher Funktionen durch Bilder von Koordinatennetzen; Real- und Imaginärteil holomorpher Funktionen sind harmonisch; Kurvenintegrale komplexer Funktionen: Definition, elementare Eigenschaften, Beispiele, Kriterien für die Existenz von Stammfunktionen
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| 21.04. | Satz von Goursat, Definition sternförmige Teilmenge in C, Konsequenzen aus dem Satz von Goursat, insbesondere Cauchyscher Integralsatz für sternförmige offene Mengen
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| 26.04. | Zentrierungslemma, Cauchysche Integralformel für Kreisscheiben, Vertauschen von Ableitung und Integral, verallgemeinerte Cauchysche Integralformeln für Kreisscheiben, Folgerungen: Satz von Morera, Satz von Liouville
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| 28.04. | Beispiel zum Satz von Liouville, Fundamentalsatz der Algebra; diverse Homotopiebegriffe, Homotopieversionen des Cauchyschen Integralsatzes
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| 03.05. | Definition der Umlaufzahl, Umlaufzahlen sind ganze Zahlen, Umlaufzahl ist konstant auf den Zusammenhangskomponenten des Komplements der Kurve und verschwindet auf der unbeschränkten Komponente, Homotopieinvarianz der Umlaufzahl, Berechnungsmethode (ohne Beweis), nullhomologe geschlossene Kurven, Formulierung der allgemeinen Cauchyschen Integralformel, Beweis (Anfang)
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| 10.05. | Ende des Beweises der allgemeinen Cauchyschen Integralformel, Folgerungen, funktionentheoretisch einfach zusammenhängende Gebiete; Folgen und Reihen holomorpher Funktionen: mögliche Konvergenzbegriffe, Vertauschbarkeit von Integral und Grenzwertbildung, Grenzwerte lokal gleichmäßig konvergenter Folgen holomorpher Funktionen sind holomorph, Beispiel Riemannsche Zeta-Funktion
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| 12.05. | Wiederholung Potenzreihen, Cauchyscher Entwicklungssatz, lokale Existenz von Potenzreihenentwicklungen als alternative Charakterisierung holomorpher Funktionen, Beispiele für Taylorreihen, Rechnen mit Potenzreihen: Reziproke Funktion, Beispiel P(z)=(exp(z)-1)/z, Bernoulli-Zahlen
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| 24.05. | Verknüpfung von Potenzreihen; Identitätssatz für holomorphe Funktionen, Ordnung einer Nullstelle, Nullstellen nichtkonstanter holomorpher Funktionen sind isoliert, biholomorphe Abbildungen, Satz von der Umkehrabbildung für holomorphe Funktionen
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| 26.05. | weitere Beispiele biholomorpher Abbildungen, Satz über die lokale Abbildung, Offenheitssatz, Biholomorphiesatz, Maximumsprinzp für holomorphe Funktionen
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| 31.05. | Isolierte Singularitäten holomorpher Funktionen: einführende Beispiele, Definitionen: hebbare Singularität, Polstelle und wesentliche Singularität, Riemannscher Hebbarkeitssatz, Charakterisierung von Polstellen, Satz von Casorati und Weierstraß; holomorphe Funktionen auf Kreisringen: Existenz und Eindeutigkeit der Laurentzerlegung
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| 02.06. | Haupt- und Nebenteil einer holomorphen Funktion auf einem Kreisring, Laurentreihenentwicklung, Integralformel für die Koeffizienten, Klassifizierung der isolierten Singularitäten durch ihre lokale Laurententwicklung, Beispiele für Laurentreihen; periodische holomorphe Funktionen auf Streifengebieten und ihre Fourierreihenentwicklungen, Beispiele
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| 07.06. | Meromorphe Funktionen auf offenen Teilmengen von C, Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen, Hauptteilverteilungen und der Satz von Mittag-Leffler
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| 09.06. | Beispiele für Partialbruchentwicklungen: π2/sin2(πz), π cot(πz), Eulersche Formeln für die Werte der Riemannschen Zeta-Funktion in den geraden natürlichen Zahlen; Definition des Residuums, Residuensatz
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| 14.06. | Rechenregeln für Residuen, Beispiele, Anwendungen des Residuensatzes zur Berechnung reeller Integrale
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| 16.06. | Weitere Beispiele zur Berechnung reeller Integrale, Prinzip vom Argument
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| 21.06. | Kriterium für die Existenz des Logarithmus einer Funktion, Satz von Hurwitz über lokal gleichmäße Grenzwerte von Folgen nullstellenfreier Funktionen, Satz von Rouché mit Beispiel, Anwendung: neuer Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra; Vergleich der komplexen mit der reellen Differentialrechnung: Wirtinger-Kalkül
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| 23.06. | Herleitung von Versionen des Cauchyschen Integralsatzes und des Residuensatzes aus dem Satz von Stokes; Kompaktifizierung von C zur Riemannschen Zahlenkugel C=C∪{∞}, Homöomorphismus zu S2, komplexe Karten für C, meromorphe Funktionen als holomorphe Abbildungen nach C
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| 28.06. | Beispiele und Charakterisierung meromorpher Funktionen auf C, Satz von Liouville für C, Möbiustransformationen als Automorphismen von C, Beziehung zu PSL(2,C), 3-Punkt-Transitivität, Doppelverhältnis, 4 Punkte auf einem verallgemeinerten Kreis
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| 30.06. | Schwarzsches Lemma, Anwendung: Beschreibung der Biholomorphismen der Kreisscheibe; ausführliche Nebenbemerkungen zur hyperbolische Geometrie der Kreisscheibe: punktabhängige Norm und hyperbolische Länge einer Kurve, hyperbolischer Abstand, biholomorphe Abbildungen sind hyperbolische Isometrien
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| 05.07. | Berechnung des hyperbolischen Abstandes vom Nullpunkt, allgemeine Beschreibung kürzester Verbindungen, Bedeutung des Modells für den axiomatischen Zugang zur Geometrie, Liste weiterer Eigenschaften des Poincaré-Modells; Charakterisierung funktionentheoretisch einfach zusammenhängender Gebiete durch Zusammenhang von C∖G, Beispiele, Formulierung des Riemannschen Abbildungssatzes, Beispiele für uniformisierende Abbildungen
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| 07.07. | normale Familien, gleichgradige Stetigkeit, Satz von Arzela-Ascoli, Satz von Montel, Beginn des Beweises des Abbildungssatzes
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| 12.07. | Ende des Beweises des Abbildungssatzes, ausführliche Bemerkungen zum Randverhalten der uniformisierenden Abbildung und Ausblick auf den Uniformisierungssatz für Riemannsche Flächen
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| 14.07. | kurze Einführung in die Dynamik rationaler Funktionen auf C, Julia- und Fatoumengen, Beispiele, Bedeutung für das komplexe Newton-Verfahren
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