Janko Latschev
Vorlesung "Funktionentheorie", Sommersemester 2025
Funktionentheorie beschäftigt sich mit dem Studium komplex differenzierbarer Funktionen und ihrer Eigenschaften. Während die grundlegenden Definitionen durchaus parallel zur reellen Analysis entwickelt werden können, treten hier jedoch schnell völlig neue Phänomene auf, welche eine eigenständige Behandlung erfordern und viele interessante Anwendungen haben. Sogar manche Probleme der reellen Analysis werden über den Umweg "ins Komplexe" einfacher lösbar.
Die Vorlesung bietet eine Einführung in das Thema für Studierende der Mathematik und des Lehramts Mathematik, ist aber auch als vertiefender Einblick für Studierende anderer Fächer geeignet, welche gewisse Grundkenntnisse der reellen Analysis besitzen. Vorrangiges Ziel ist die Bereitstellung der grundlegenden Sätze (Integralformel von Cauchy, Residuensatz, Riemannscher Abbildungssatz, usw.), einschließlich typischer Anwendungen. Daneben werden einige geometrische Aspekte behandelt.
Hinweise zur Prüfungszulassung
Wie üblich behalten Prüfungszulassungen aus vorangegangenen Semestern ihre Gültigkeit.
Um die Zulassung neu zu erwerben, sollten Sie regelmäßig die Übungsaufgaben bearbeiten. Es wird voraussichtlich 12 Übungsblätter geben, die in jeweils drei Blöcke von je 4 Blättern aufgeteilt sind. Sie können die Bearbeitung allein oder zu zweit abgeben. In jedem Block (2 für Studierende in der 6LP-Variante, 3 für alle anderen) sollten Sie mindestens 3 der 4 Blätter ausreichend und sinnvoll bearbeitet haben. Die Aufgaben sind primär zum Üben da, werden daher nicht bepunktet. Um das Kriterium "ausreichend und sinnvoll bearbeitet" zu erreichen, sollten Sie den größten Teil der (Teil-)Aufgaben zumindest ernsthaft versucht haben. Dokumentieren Sie dazu also auch Ihre gescheiterten Lösungsversuche in Ihrer Abgabe. "Ich hatte keine Idee." ist keine ernsthafte Bearbeitung, sollte also nur in echten Ausnahmefällen vorkommen.
Übungsblätter (Abgabetermin für Hausaufgaben in Klammern):
Blatt 1 (14.4.)
Blatt 2 (22./23.4.)
Blatt 3 (28.4.)
Blatt 4 (5.5.)
Blatt 5 (12.5.)
Blatt 6 (19.5.)
Blatt 7 (2.6.)
Literatur zur Vorlesung:
Die Links zu den Büchern funktionieren nur im Uni-Netz.
Logbuch:
| 07.04. | Die komplexen Zahlen, verschiedene Interpretationen, Realteil, Imaginärteil, Betrag, Polarkoordinaten, Rechtfertigung über Eigenschaften der Exponentialfunktion, Argument als lokale Wahl eines Winkels, Hauptzweig des Arguments, komplexer Logarithmus, Wurzeln komplexer Zahlen, Einheitswurzeln; C als metrischer Raum;
diese und ähnliche Themen finden sich in unterschiedlicher Detailtiefe am Beginn jedes Buches zu Funktionentheorie, z.B. Abschnitte 1.1. bis 1.3. und Teile von 1.7. in Fischer-Lieb
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| 09.04. | Definition komplexe Differenzierbarkeit, elementare Eigenschaften der Ableitung, Definition holomorphe Funktion, Beispiele; graphische Darstellung holomorpher Funktionen durch Bilder von Koordinatennetzen;
Abschnitte 1.4. und 1.6. in Fischer-Lieb
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| 14.04. | Vergleich mit reeller Differenzierbarkeit, Cauchy-Riemann-Gleichungen, Folgerungen: nichtverschwindende Ableitungen holomorpher Funktionen sind orientierungserhaltend und winkeltreu; Real- und Imaginärteil holomorpher Funktionen sind harmonisch, harmonische Funktionen auf C sind stets Realteil einer holomorphen Funktion
Abschnitt 2.1. in Salamon oder Abschnitt 1.5. in Fischer-Lieb
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| 16.04. | Kurvenintegrale komplexer Funktionen: Definition, elementare Eigenschaften, Beispiele, erste Kriterien für die Existenz von Stammfunktionen
Abschnitt 1.8 und 2.1. in Fischer-Lieb
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| 23.04. | Satz von Goursat, Definition sternförmige Teilmenge in C, Konsequenzen aus dem Satz von Goursat, insbesondere Cauchyscher Integralsatz für sternförmige offene Mengen, Zentrierungslemma
Abschnitt 2.2 und Teile von 2.3 in Fischer-Lieb
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| 28.04. | Cauchysche Integralformel für Kreisscheiben, Vertauschen von Ableitung und Integral, verallgemeinerte Cauchysche Integralformeln für Kreisscheiben, Folgerungen: Satz von Morera, Satz von Liouville, Beispiel zum Satz von Liouville
Abschnitt 2.3 in Fischer-Lieb
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| 30.04. | Fundamentalsatz der Algebra; Folgen und Reihen holomorpher Funktionen: Vertauschbarkeit von Integral und Grenzwertbildung, Grenzwerte lokal gleichmäßig konvergenter Folgen holomorpher Funktionen sind holomorph, Beispiel Riemannsche Zeta-Funktion, Cauchyscher Entwicklungssatz, lokale Existenz von Potenzreihenentwicklungen als alternative Charakterisierung holomorpher Funktionen
Abschnitt 2.4 in Fischer-Lieb
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| 05.05. | Beispiele für Taylorreihen, Bemerkungen zum Rechnen mit Potenzreihen: Reziproke Funktion, Beispiel P(z)=(exp(z)-1)/z, Bernoulli-Zahlen, Verknüpfung von Potenzreihen; Identitätssatz für holomorphe Funktionen
Abschnitt 3.6 in Salamon oder Abschnitt 2.4 in Fischer-Lieb
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| 07.05. | Ordnung einer Nullstelle, Nullstellen nichtkonstanter holomorpher Funktionen sind isoliert, biholomorphe Abbildungen, Satz von der Umkehrabbildung für holomorphe Funktionen, weitere Beispiele biholomorpher Abbildungen, Satz über die lokale Abbildung
Abschnitte 2.2 und 3.6 in Salamon
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| 12.05. | Offenheitssatz, Biholomorphiesatz mit Anwendungsbeispiel, Maximumsprinzip für holomorphe Funktionen; Isolierte Singularitäten holomorpher Funktionen: einführende Beispiele, Definitionen: hebbare Singularität, Polstelle und wesentliche Singularität, Riemannscher Hebbarkeitssatz, Charakterisierung von Polstellen, Ordnung einer Polstelle
Abschnitte 2.5 und 2.6 in Fischer-Lieb
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| 14.05. | Beispiele zu Polstellen, Satz von Casorati und Weierstraß; Charakterisierung von Polynomen als ganze Funktionen mit "Polstelle bei Unendlich"; Kompaktifizierung von C zur Riemannschen Zahlenkugel C=C∪{∞}, Homöomorphismus zu S2
Teile von Abschnitten 2.6, 3.3 und 3.1 in Fischer-Lieb
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| 19.05. | Diskussion der Definition einer 1-dimensionalen komplexen Mannigfaltigkeit (auch Riemannsche Fläche genannt), komplexe Karten für C, holomorphe Abbildungen zwischen Riemannschen Flächen, konkrete Bedeutung der Definition für Abbildungen zwischen offenen Teilmengen von C oder C, meromorphe Funktionen als holomorphe Abbildungen nach C mit diskretem Urbild von ∞, Beispiele meromorpher Funktionen
Abschnitt 3.1 in Fischer-Lieb
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| 21.05. | meromorphe Funktionen auf einem Gebiet bilden einen Körper, Charakterisierung meromorpher Funktionen auf C, Satz von Liouville für C, Möbiustransformationen als Automorphismen von C, Beziehung zu PSL(2,C), 3-Punkt-Transitivität, Doppelverhältnis
Abschnitt 3.4 in Fischer-Lieb
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