MITTELSTUFE (Klassen 8-10)                    Zu den Aufgaben der Oberstufe

Aufgabe 1:
In dem Viereck ABGD ist die Seite AD parallel zu der Seite BG. K sei ein Punkt auf der Seite
AB. Zeichne durch A die Parallele zu KC und durch B die Parallele zu KD. Zeige, dass sich die
beiden Parallelen in einem Punkt auf der Seite CD schneiden.

Aufgabe 2:
Anton berechnet das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen und Ida das Produkt der ersten m
geraden Zahlen, m, n >1. Überrascht stellen beide das gleiche Ergebnis fest. Beweise, dass sich
einer von ihnen geirrt haben muss.

Aufgabe 3:
Kolja hat erfahren, dass zwei seiner vier Münzen falsch sein sollen. Er weiß aber, dass die echten
und die falschen Münzen jeweils gleich schwer sind und dass die falschen Münzen etwas leichter als
die echten sind. Kann er mit höchstens zwei Wägungen auf einer Balkenwaage definitiv feststellen,
ob sich unter seinen Münzen genau zwei falsche befinden? Falls ja, wie und falls nicht, warum
nicht.

Aufgabe 4:
Auf einer Geraden bewegen sich fünf Punkte von links und fünf Punkte von rechts aufeinander
zu. Sie haben alle immer die gleiche konstante Geschwindigkeit. Jedesmal, wenn sich zwei Punkte
treffen, ändern sie augenblicklich ihre Richtung um 180° und beide bewegen sich dann in die
entgegengesetzte Richtung. Wie viele Kollisionen finden dabei höchstens statt?

Aufgabe 5:
In einer Ebene seien mindestens vier verschiedene Punkte markiert. Sobald man irgendeinen
Punkt entfernt, liegen die übrigen Punkte symmetrisch zu einer Geraden. Muss dann eine Gerade
existieren, zu der die gesamte Punktmenge symmetrisch ist?

An Hilfsmittel sind nur das ausgegebene Papier, Schreibgerät, Lineal und Zirkel
zugelassen. Auf jedem Blatt sind der Name, Vorname und die Nummer der Aufgabe
einzutragen. Gewertet werden höchstens drei Aufgaben. Alle Aufgaben haben die
gleiche Punktzahl.

Zeit: 4,5 Stunden.