21. Internationaler Mathematik-Städtewettbewerb
November 1999

Aufgaben für die Mittelstufe
( ---> Oberstufe )

Der Wettbewerb hat bereits stattgefunden. Zulässige Hilfsmittel: Schreibzeug, Papier
und Zeichengeräte. Die Aufgaben können bei Binnendifferenzierung gut im normalen Unterricht von interessierten Schülerinnen und Schülern bearbeitet werden: 

Aufgabe 1:
a) [2 P.] Ein rechtwinkliges Dreieck aus Papier wird entlang einer Gerade so gefaltet, dass die Ecke mit dem rechten Winkel auf eine andere Ecke des Dreiecks zu liegen kommt. In welchem Verhältnis schneiden sich die Diagonalen des so entstandenen Vierecks?

b) [2 P.] Ein rechtwinkliges Dreieck aus Papier mit dem Flächeninhalt 1 wird entlang einer Gerade so gefaltet, dass die Ecke mit dem rechten Winkel auf eine andere Ecke zu liegen kommt. Das so entstehende Viereck wird von der Diagonalen, die von dem dritten Eckpunkt ausgeht, in zwei Dreiecke zerlegt. Wie groß ist der Flächeninhalt des kleineren so entstandenen Dreiecks?

Aufgabe 2:
Wir betrachten Tripel (a, b, c) ganzer Zahlen mit a + b + c = 0. Für jedes dieser Tripel denken wir uns eine Zahl

d = a1999 + b1999 + c1999
berechnet.
a) [2 P.] Kann es passieren, dass d = 2 ist?
b) [2 P.] Kann es passieren, dass d eine Primzahl ist? ( Eine ganze Zahl p > 1 heißt Primzahl, wenn sie ohne Rest nur durch 1 und sich selbst teilbar ist, z.B. p = 2, 3, 5, 7, 11.)

Aufgabe 3: [4 P.]
n Geraden sind so in einer Ebene gezeichnet, dass jede Gerade genau 1999 andere Geraden schneidet. Finde alle möglichen Werte von n.

Aufgabe 4: [4 P.]
In Italien werden Uhren produziert, deren Stundenzeiger in 24 Stunden genau eine Umdrehung vollführen, während sich die Minutenzeiger in der gleichen Zeit exakt 24mal drehen. Der Minutenzeiger ist etwas länger als der Stundenzeiger. (Bei einer normalen Uhr dreht sich der Stundenzeiger in 24 Stunden zweimal und der Minutenzeiger 24mal.)
Wie viele Positionen der beiden Zeiger bezogen auf die Nullstellung (24 Uhr bei den italienischen bzw. 12 Uhr bei den normalen Uhren) können innerhalb von 24 Stunden bei den italienischen Uhren auftreten, die auch bei den normalen Uhren möglich sind?

Aufgabe 5: [4 P.]
Auf einem Tisch liegen gleichartige Spielkarten im Format 1 x 2. Auf jeder Karte ist eine Diagonale eingezeichnet. Es gibt zwei Sorten von Karten, da man die Diagonalen ja auf zwei verschiedene Weisen ziehen kann. Von jeder Sorte gibt es beliebig viele Karten. Aus 18 Karten kann man ein 
6 x 6 - Quadrat legen.
Ist es möglich, 18 Karten so auszuwählen, dass die Endpunkte der Diagonalen niemals übereinstimmen?

Gewertet werden höchstens drei Aufgaben. Arbeitszeit: 4,5 Stunden.

Auskunft:

Erstellt am 25.11.99

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