Veranstalterin:

Birgit Richter, email: birgit.richter at uni-hamburg.de

1. Definieren Sie, was eine reelle Algebra ist und behandeln Sie die Beispiele der reellen und komplexen Zahlen, der nxn-Matrizen über den reellen Zahlen und reelle Funktionenalgebren. Wiederholen Sie die Definition der komplexen Zahlen zum einen über Zahlenpaare reeller Zahlen und beschreiben Sie zum anderen mögliche Einbettungen der komplexen Zahlen in die reellen 2x2-Matrizen. Zeigen Sie explizit, dass jede reelle quadratische Gleichung zwei Lösungen hat über den komplexen Zahlen. [Z]
2. Beschreiben Sie Anwendungen der komplexen Zahlen auf geometrische Fragestellungen: Beweisen Sie einige typische Sätze der Schulmathematik, indem Sie über komplexe Zahlen argumentieren. [Z]
3. TB JR Beschreiben Sie, was der Fundamentalsatz der Algebra besagt und geben Sie uns einen elementaren Beweis. Skizzieren Sie Anwendungen dieses wichtigen Satzes. [Z]
4. LG Definieren Sie, was reelle Divisionsalgebren sind und behandeln Sie die Beispiele der reellen, der komplexen Zahlen und der Quaternionen. Beweisen Sie, dass die Quaternionen eine reelle Divisionsalgebra bilden und beschreiben Sie die Quaternionen als reelle Unteralgebra der komplexen 2x2-Matrizen. [Z]
5. TD Nutzen Sie die Quaternionen zur Beschreibung des Vektorprodukts im 3-dimensionalen reellen Raum. Zeigen Sie uns, dass die Einheitssphäre in den Quaternionen isomorph ist zur Matrizengruppe SU(2). Stellen Sie uns Beispiele für Polynome endlichen Grades vor, die über den Quaternionen unendlich viele Lösungen haben. [Z]
6. BR Beschreiben Sie den Zusammenhang zwischen orthogonalen Abbildungen des dreidimensionalen reellen Raums und den Quaternionen. Benutzen Sie Quaternionen zur Beschreibung von SO(3) und SO(4). Slides[Z]
7. KF Beschreiben Sie den Satz von Frobenius zur Struktur gewisser reeller Algebren. Insbesondere besagt diese Satz, dass es nur die reellen, die komplexen Zahlen und die Quaternionen als assoziative endlich-dimensionale Divisionsalgebren gibt. [Z]
8. Es stellt sich natürlich die Frage, welche anderen reellen Divisionsalgebren es geben kann. Die Cayley-Zahlen sind der 8-dimensionale reelle Vektorraum mit einer geeigneten Multiplikation; diese ist allerdings nicht mehr assoziativ. Stellen Sie diese reelle Divisionsalgebra über ihre Multiplikationstabelle vor, leiten Sie einige Eigenschaften her und zeigen Sie, dass die Cayleyzahlen eine Divisionsalgebra bilden. Die Multiplikation kann man sich über die Fano-Ebene merken! [Z,B]
9. PB Wir halten eine Primzahl p fest. Stellen Sie uns die p-adische Entwicklung natürlicher Zahlen vor und definieren Sie die p-adische Bewertung ganzer und rationaler Zahlen. Was ist für diese Bewertung groß und was ist klein? Behandeln Sie Beispiele und führen Sie dann die p-adischen Zahlen ein. [Z,N]
10. CM Geben Sie uns zwei alternative Konstruktionen für die ganzen p-adischen Zahlen: zum einen als unendliche Reihen und zum anderen als einen sogenannten inversen Limes. Zeigen Sie, dass beide Konstruktionen äquivalent sind und stellen Sie die Zahl -1 in beiden Weisen dar. [Z,N]
11. LB Geben Sie eine Lösung der Gleichung x^2-2 in den 7-adischen Zahlen an. Hat diese Gleichung immer eine Lösung in den p-adischen Zahlen für alle Primzahlen p? Geben Sie Beispiele für Folgen an, die in den rationalen Zahlen konvergieren, aber nicht in den rationalen p-adischen Zahlen. [Z,N]
12. Stellen Sie uns die analytischen Eigenschaften der rationalen p-adischen Zahlen vor. Definieren Sie die rationalen p-adischen Zahlen als Vervollständigung der rationalen Zahlen an der Primzahl p und beweisen Sie uns seine Vollständigkeit. Vergleichen Sie diese Konstruktion mit der Konstruktion der reellen Zahlen als Vervollständigung der rationalen Zahlen. [Z,N]

Ziel:

Durch die Teilnahme am Seminar und die Vorbereitung eines Vortrags sollen die Kenntnisse der Linearen Algebra vertieft werden. Einige Vortragsthemen können zu Bachelorarbeiten ausgebaut werden.

Vorkenntnisse:

Inhalte der linearen Algebra. Der letzte Vortrag braucht Anfangsstoff der Analysis.

Ablauf:

Konzipieren Sie Ihren Vortrag auf 70 Minuten und geben Sie uns ggf. eine ca 5-minütige historische Einordnung des Themas. Wenn möglich, arbeiten Sie den Schulbezug Ihres Themas heraus. Behandeln Sie im Anschluss an Ihren Vortrag ein kleines Beispiel als Anwesenheitsaufgabe. Geben Sie mir zwei Wochen vor Ihrem Vortrag eine Ausarbeitung des Vortrags ab.

Literatur:

• [Z] Ebbinghaus et al., Zahlen, Springer 3. Auflage 1992.
• [N] Neukirch, Algebraische Zahlentheorie, Springer Nachdruck 2007.
• [B] John Baez, The Octonians, Bulletin of the American Mathematical Society 39, 2001, 145--205.

Zeit und Ort:

Mo, 12-14h, Raum 142.