Prof. Roland Gunesch Sommersemester 2005

Übungen zur Vorlesung

Einführung in dynamische Systeme

Blatt 9

Aufgabe 1: Bestimmen Sie die Selbstähnlichkeitsdimension folgender Mengen:

a) dem Menger-Schwamm in ℝ^{3},

b) dem n-fachen Cantor-Staub C×⋯×C ⊂ ℝ^{n} (n-faches Produkt der Standard-Cantormenge C),

c) der Cantormenge C(λ), die entsteht, wenn aus [0, 1] das offene mittlere Intervall der Länge λ ∈ (0, 1) entfernt wird, aus jedem verbleibenden Intervall der Länge x wieder das offene mittlere Intervall der Länge λx ∈ (0, 1) entfernt wird usw.

Aufgabe 2:

a) Zeigen Sie: Die Hausdorff-Dimension von einer abzählbaren Menge ist 0.

b) Konstruieren Sie eine Menge A ⊂ ℝ^{n} mit Box-Dimension n und Hausdorff-Dimension 0.

Aufgabe 3: Sei h^{d} das d-dimensionale Hausdorff-Maß. Konstruieren Sie für jedes d ∈ [0, ∞):

a) eine Menge A mit h^{d}(A) ∈ (0, ∞),

b) eine Menge A mit Hausdorff-Dimension d und h^{d}(A) = 0,

c) eine Menge A mit Hausdorff-Dimension d und h^{d}(A) = ∞.

Aufgabe 4:

a) Zeigen Sie: Es gibt Mengen, so dass die Summe der Hausdorff-Dimensionen kleiner ist als die Hausdorff-Dimension des Produkts.

Tipp: Untersuchen Sie folgende A, B ⊂ [0, 1]:

A = {0.x_{1} … x_{n_{1}}0 … 0x_{n_{2}+1} … x_{n_{3}}0 … 0x_{n_{4}+1} … x_{n_{5}} … }
= {x | (x_{n_{1}+1} … x_{n_{2}}) = (0 … 0), (x_{n_{3}+1} … x_{n_{4}}) = (0 … 0), … },
B = {0.0 … 0x_{n_{1}+1} … x_{n_{2}}0 … 0x_{n_{3}+1} … x_{n_{4}} … }
= {x | (x_{1} … x_{n_{1}}) = (0 … 0), (x_{n_{2}+1} … x_{n_{3}}) = (0 … 0), … }

Zeigen Sie, dass für eine schnell wachsende Folge (n_{i})_{i∈ℕ} gilt:

dim_{H}(A) = 0,  dim_{H}(B) = 0,  dim_{H}(A × B) = 1.

Abgabe: 23.6.2005 in der Vorlesung