Prof. Roland Gunesch Sommersemester 2005

Übungen zur Vorlesung Einführung in dynamische Systeme Blatt 8

Aufgabe 1: Sei X ein beliebiger endlicher Raum, bestehend aus N Punkten, versehen mit der Topologie, in der alle Teilmengen von X offen sind (die “feinste Topologie”; sie wird erzeugt durch die diskrete Metrik d(x, y) = 1 für alle x ≠ y).

a) Geben Sie ein Beispiel einer topologisch transitiven Abbildung f : X → X an.

b) Bestimmen Sie die Zahl T (N) aller topologisch transitiven Abbildungen f : X → X.

c) Gibt es eine topologisch mischende Abbildung auf X? (Beispiel oder Gegenbeweis) Aufgabe 2: Sei k ∈ ℕ und B_{k} := {ω ∈ Ω = Ω_{2}| ∀m, n ∈ ℕ : |∑_{i=n}^{m}(−1)^{ω_{i}}| ≤ k} die Menge aller ω ∈ Ω, für die gilt, dass für jeden endlichen Block von Ziffern von ω, egal wie lang, sich die Zahl der 0-en von der Zahl der 1-en höchstens um k unterscheidet.

a) Zeigen Sie: B_{k} ist eine Shift-invariante und abgeschlossene Teilmenge von Ω.

b) Ist σ : B_{k} → B_{k} ist topologisch transitiv? (Beweis oder Widerlegung)

c) Zeigen Sie: σ : B_{k} → B_{k} ist nicht topologisch mischend. Aufgabe 3: Sei A eine 2 × 2-Matrix mit ganzzahligen Einträgen.

a) Zeigen Sie: Für | det(A)| = 1 ist die Abbildung L_{A} : 𝕋^{2} → 𝕋^{2}, [\binom{x}{y}] ↦ [A · \binom{x}{y}] ein Diffeormorphismus auf dem 2-Torus.

b) Zeigen Sie: Die Abbildung L_{A} : 𝕋^{2} → 𝕋^{2} hat für jedes n ∈ ℕ endlich viele periodische Punkte der Periode n genau dann, wenn A keine Eigenwerte λ mit |λ| = 1 hat. Aufgabe 4: Sei A = (\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}), L_{A} die arnoldsche Katzenabbildung. G_{q} := \{[\binom{a/q}{b/q}] | a, b ∈ ℕ\} das q ×q-Gitter auf dem 2-Torus (q ∈ ℕ). Zeigen Sie:

a) Es gibt kein n ∈ ℤ, so dass L_{A}^{n} =id.

b) Für jedes q ∈ ℕ gibt es ein n = n(q), so dass (L_{A}|_{G_{q}})^{n} =id.

c) Finden Sie eine obere Schranke für n(100). Abgabe: Montag, 13.6.2005 in der Vorlesung