Prof. Roland Gunesch Sommersemester 2005

Übungen zur Vorlesung

Einführung in dynamische Systeme

Blatt 7

Aufgabe 1:

a) Zeigen Sie:

d_{λ,N}(α, ω) := ∑_{i∈ℤ}λ^{−|i|}|α_{i} − ω_{i}|

ist für jedes λ > 1 eine Metrik auf der Menge Ω_{N} aller zweiseitigen Symbolsequenzen über dem Alphabet {0, 1, …, N − 1}.

b) Zeigen Sie: Für alle λ > 2N − 1 ist für jede Wahl von α_{−n}, …, α_{n} ∈ {0, 1, …, N − 1} der Zylinder Z_{α_{−n},...,α_{n}} = {ω ∈ Ω_{N} : ω_{−n} = α_{−n}, …, ω_{n} = α_{n}} ⊂ Ω_{N} ein offener Ball mit Radius λ^{−n} in Ω_{N} bezüglich der Metrik d_{λ,N}.

c) Zeigen Sie: Für λ > N ist der Zylinder Z_{α_{0},...,α_{n}} ⊂ Ω_{N}^{R} ein offener Ball mit Radius λ^{−n} bezüglich der Metrik d_{λ,N}(α, ω) := ∑_{i∈ℕ_{0}} λ^{−i}|α_{i} − ω_{i}| auf der Menge Ω_{N}^{R} aller einseitigen Symbolsequenzen über dem Alphabet {0, 1, …, N − 1}.

Aufgabe 2:

a) Zeigen Sie: Für den Shift-Operator σ, der durch (σ(ω))_{n} := ω_{n+1} definiert ist, gibt es überabzählbar viele nichtperiodische Punkte ω ∈ Ω^{R} mit ω_{i} = 0 für alle geraden Zahlen i.

b) Geben Sie explizit ein solches ω an.

Aufgabe 3: Finden Sie für jedes n ∈ ℕ die Zahl der periodischen Punkte ω ∈ Ω_{N} des Shift-Operators auf Ω_{N}, die Periode n haben und für die gilt, dass ω_{i} = 0 für alle geraden Zahlen i.

Aufgabe 4:

a) Sei G die G-förmige Hufeisen-Büroklammer

G : Λ → Λ, G(x, y) := \begin{cases}(3x, \frac{y}{3}) & für x ≤ 1/3 \\ (3x − 2, \frac{y+2}{3}) & für x ≥ 2/3 \end{cases}

auf dem G-invarianten Cantor-Staub Λ = C × C = ⋂_{i∈ℤ} G^{i}([0, 1]^{2}). Sei h : Ω → Λ die Konjugation zwischen G und dem Shift auf Ω, definiert durch ω ↦ h(ω) := ⋂_{n∈ℤ} G^{−n}(V_{ω_{n}}), wobei V_{0} = [0, \frac{1}{3}] × [0, 1] und V_{1} = [\frac{2}{3}, 1] × [0, 1].

Finden Sie n ∈ ℕ_{0} und einen Zylinder Z_{α_{−n},...,α_{n}} ⊂ Ω mit h(Z_{α_{−n},...,α_{n}}) = Λ ∩ R für das Rechteck R = [\frac{6}{9}, \frac{7}{9}] × [0, \frac{1}{3}] .

Tipp: Wenn x ∈ [\frac{6}{9}, \frac{7}{9}] und y ∈ [0, \frac{1}{3}], welche Ziffern von x, y sind dann in der triadischen Darstellung festgelegt?

Abgabe: Montag, 6.6.2005 in der Vorlesung