Prof. Roland Gunesch Sommersemester 2005

Übungen zur Vorlesung

Einführung in dynamische Systeme

Blatt 6

Aufgabe 1:

a) Beweisen Sie: Wenn die Abbildung f zu der Abbildung f̃ C^{k}-konjugiert ist (k ≥ 0) und die Abbildung g zu g̃, dann auch die Produktabbildung f × g zu f̃× g̃. (Für zwei Abbildungen f, g ist die Produktabbildung gegeben durch (f × g)((x, y)) = (f(x), g(y)).)

b) Beweisen Sie: Wenn der Fluss φ zu dem Fluss φ̃ C^{k}-konjugiert ist (k ≥ 0) und der Fluss ψ zu ψ̃, dann auch der Produktfluss φ × ψ zu φ̃ × ψ̃. (Der Produktfluss von zwei Flüssen φ, ψ ist (φ × ψ)_{t}((x, y)) = (φ_{t}(x), ψ_{t}(y)).)

c) Widerlegen Sie: Wenn der Fluss φ zu dem Fluss φ̃ Orbit-äquivalent ist und der Fluss ψ zu ψ̃, dann auch der Produktfluss φ × ψ zu φ̃ × ψ̃.

Aufgabe 2: Beweisen Sie: Die Poincaréabbildung einer Suspension ist topologisch konjugiert zu der ursprünglichen Abbildung.

D.h. wenn f : M → M ein Diffeomorphismus ist ist, ψ der Suspensionsfluss auf X = (M × [0, 1])/ ∼ mit (x, 1) ∼ (f(x), 0), wenn s ∈ [0, 1] und S := {[(x, s)] : x ∈ M} ⊂ X, dann ist S ein globaler Schnitt von ψ und die die Poincaré-Abbildung P auf S erfüllt P = h^{−1} ∘ f ∘ h mit einem Homöomorphismus h : S ↦ M.

Aufgabe 3: Widerlegen Sie: Die Suspension einer Poincaréabbildung ist topologisch konjugiert zu dem ursprünglichen Fluss.

D.h. finden Sie einen Fluss φ, einen globalen Schnitt S, die zugehörige Poincaré-Abbildung P : S → S und den Suspensionsfluss ψ von P, so dass es keinen Homöomorphismus h gibt, so dass für alle x, t gilt: φ_{t}(x) = h^{−1}(ψ_{t}(h(x))).

Aufgabe 4: Beweisen oder widerlegen Sie: Die Suspension einer Poincaréabbildung ist Orbit-äquivalent zu dem ursprünglichen Fluss.

Abgabe: Montag, 30.5.2005 in der Vorlesung