Prof. Roland Gunesch Sommersemester 2005

Übungen zur Vorlesung

Einführung in dynamische Systeme

Blatt 5

Aufgabe 1: Sei a ∈ ℝ^{n}, a_{1} ≠ 0 und der Fluss φ auf 𝕋^{n} definiert durch

φ_{t}([x]) := [x + ta].

Sei

S := {[y] : y_{1} = 0}.

a) Wie groß ist für x ∈ S die Wiederkehr-Zeit τ(x) = min{t > 0 : φ_{t}(x) ∈ S}?

b) Bestimmen Sie die Poincaré-Abbildung auf S.

c) Für welche a hat der Fluss periodische Orbits? Welche? Mit welcher Periode?

Aufgabe 2: Sei a ∈ ℝ^{n} und die Abbildung f auf 𝕋^{n} definiert durch

f([x]) := [x + a].

Für welche a hat die Abbildung periodische Orbits? Welche? Mit welcher Periode? (Vorsicht: Dies ist nicht dasselbe wie in der vorigen Aufgabe.)

Aufgabe 3: Sei φ ein Fluss, S ein (globaler) Schnitt von φ, und P die Poincaré-Abbildung auf S. Zu beweisen oder widerlegen:

a) Jedes periodische Orbit von φ enthält einen Fixpunkt von P.

b) Jedes periodische Orbit von φ enthält ein periodisches Orbit von P.

c) Jedes periodische Orbit von P ist enthalten in einem periodischen Orbit von φ.

Aufgabe 4: Sei f : U → U ein Diffeomorphismus, U offen in ℝ^{n}. Zu zeigen: Die Formel für die Suspension von f, nämlich

ψ_{t}([(x, θ)]) := [(f^{⌊t+θ⌋}(x), t + θ − ⌊t + θ⌋)]

mit ⌊a⌋ := max{k ∈ ℤ : k ≤ a} definiert einen Fluss (d.h. ψ_{0} =id, ψ_{s+t} = ψ_{s} ∘ ψ_{t} für alle s, t ∈ ℝ). Der Fluss ist definiert auf (U × [0, 1])/ ∼, wobei

(x, 1) ∼ (f(x), 0).

Abgabe: Montag, 23.5.2005 in der Vorlesung