Prof. Roland Gunesch Sommersemester 2005

Übungen zur Vorlesung

Einführung in dynamische Systeme

Blatt 4

Aufgabe 1:

a) Zeigen Sie, dass für eine Funktion H ∈ C^{2}(ℝ^{2n}, ℝ) der Fluss des hamiltonschen Systems

u̇ = (\begin{matrix}0 & id \\ −id & 0 \end{matrix}) gradH(u), u ∈ ℝ^{2n}, d.h.

\frac{d}{dt}(u_{1}, …, u_{2n}) = (\frac{dH}{du_{n+1}} , …, \frac{dH}{du_{2n}} , −\frac{dH}{du_{1}} , …, −\frac{dH}{du_{n}} ) ,

volumenerhaltend ist.

b) Zeigen Sie, dass für dieses hamiltonsche System die Funktion H (genannt Hamilton-Funktion) selbst invariant ist.

Aufgabe 2:

a) Zeigen Sie: Für eine Hamilton-Funktion H ∈ C^{2}(ℝ^{2}, ℝ) ist jede Niveaumenge von H, die eine geschlossene Kurve ist und keine kritischen Punkte von H enthält, ein periodisches Orbit des hamiltonschen Systems

\frac{d}{dt}(u_{1}, u_{2}) = (\frac{dH}{du_{2}} , −\frac{dH}{du_{1}} ) , u ∈ ℝ^{2}.

b) Zu zeigen oder widerlegen: Wenn alle Orbits des Newton-Systems ẍ = \frac{1}{m}f(x), x ∈ ℝ^{3}, den Drehimpuls L = mx ∧ ẋ invariant lassen, dann ist f ein Zentralkraftfeld.

Aufgabe 3:

a) Sei φ ein Fluss auf einer Menge X. Zu zeigen: Orbits kreuzen sich nicht. D.h. wenn zwei Orbits (φ_{t}(x_{0}))_{t∈ℝ}, (φ_{t}(x_{1}))_{t∈ℝ} sich schneiden, so gibt es ein t_{0} ∈ ℝ mit φ_{t_{0}}x_{0} = x_{1}.

b) Zu zeigen für einen beliebigen Fluss und eine beliebige Abbildung: Wenn u_{0} periodisch mit Periode r ist, dann ist jeder Punkt im Orbit von u_{0} ebenfalls periodisch mit derselben Periode r.

Aufgabe 4:

a) Zu zeigen: Ein homoklines Orbit enthält keine rekurrenten Punkte.

b) Zu zeigen oder widerlegen: Für die Lösungen der Pendelgleichung

ẍ = − sin x

auf {(x, v)} : x ∈ S^{1}, v ∈ ℝ} sind alle Punkte, die nicht auf einem der homoklinen Orbits liegen, rekurrent.

Abgabe: Montag, 9.5.2005 in der Vorlesung