Prof. Roland Gunesch Sommersemester 2005

Übungen zur Vorlesung

Einführung in dynamische Systeme

Blatt 3

Aufgabe 1:

a) Zu zeigen: Der Spektralradius r(A) einer linearen Abbildung im ℝ^{n} erfüllt

r(A) = lim_{k→∞} ||A^{k}||^{1/k}.

b) Der Spektralradius der linearen Abbildung A im ℝ^{n} sei π^{2}/10. Welche Dimension haben die stabilen, instabilen und neutralen Unterräume? Was ist lim_{k→∞} A^{k} · (1, 2, …, n)?

Aufgabe 2: Die Standard-Cantormenge ist definiert als

C := {∑_{n=0}^{∞} a_{n}3^{−n} : (a_{n})_{n∈ℕ_{0}} erfüllt a_{n} ∈ {0, 2} ∀n ∈ ℕ_{0}} .

Zu zeigen:

a) C ist überabzählbar.

b) C ist homöomorph zum Cantor-Staub C × C. (Zwei Mengen heißen homöomorph, wenn es eine stetige Bijektion zwischen ihnen mit stetiger Umkehrabbildung gibt.)

Aufgabe 3:

a) Die Twistabbildung auf dem Torus ist f : 𝕋^{2} → 𝕋^{2}, f([(x, y)]) = [(x, y + θ(x))], wobei θ : [0, 1] → ℝ stetig, θ(0) − θ(1) ∈ ℤ. Zu zeigen: f ist volumenerhaltend.

b) Sei eine Abbildung f : 𝕋^{2} → 𝕋^{2} definiert durch f([(x, y)]) = [(x, y + θ(y))] mit θ : [0, 1] → ℝ stetig, θ(0) − θ(1) ∈ ℤ. Ist die Abbildung volumenerhaltend (Beweis oder Gegenbeispiel)?

Aufgabe 4:

a) Das Vektorfeld f(v) definiere auf ℝ^{2} einen für alle Zeiten t ∈ ℝ definierten Fluss φ, so dass φ_{t}(v_{0}) = v(t) für die Lösung v der Gleichung v̇ = f(v), v(0) = v_{0} gelte.

Zu zeigen: Wenn f(x, y) = (g(y), h(x)), wobei g, h : ℝ → ℝ glatt, dann ist φ_{t} volumenerhaltend.

b) Für welche a, b ist der durch das Vektorfeld

\frac{d}{dt}(x, y) = (ax + sin(y^{21} cos(y^{22})^{2}e^{−y}), by + cos(x^{42} sin(x^{24})e^{e^{−x}})

bestimmte Fluss volumenerhaltend?

Abgabe: Montag, 2.5.2005 in der Vorlesung