Prof. Roland Gunesch Sommersemester 2005

Übungen zur Vorlesung

Einführung in dynamische Systeme

Blatt 2

Aufgabe 1: In welchen der folgenden Fälle ist x = 0 (i) Poisson-stabil, (ii) asymptotisch stabil? (Begründung erforderlich.)

a) f(x) = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) x b) ẋ = (\begin{matrix}−1 & 1/2 \\ −1/2 & −1 \end{matrix}) x

c) f(x) = (\begin{matrix}cos(θ) & − sin(θ) \\ sin(θ) & cos(θ) \end{matrix}) x, θ ∈ [0, 2π).

Aufgabe 2: Wie verhalten sich die Orbits folgender diskreter Abbildungen im ℝ^{2}? Ein Phasenportrait ist zu zeichnen (bitte Koordinatenrichtungen angeben).

a) x ↦ (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) x b) x ↦ (\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) x.

Aufgabe 3: Wie verhalten sich die Orbits folgender Differentialgleichungen im ℝ^{2}? Ein Phasenportrait ist zu zeichnen (bitte Koordinatenrichtungen angeben).

a) ẋ = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) x b) ẋ = (\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) x.

Aufgabe 4: Sei f : [0, 1] → [0, 1], f(x) := kx(1 − x), k ∈ [0, 4].

a) Welche Fixpunkte hat f? Welche sind (in einer Umgebung) anziehend bzw. abstoßend?

b) Zu zeigen: Für 1 < k ≤ 2 konvergieren alle Orbits gegen einen Fixpunkt.

Tipp: Auf dem Intervall, auf dem f monoton steigt, ist das Verhalten leicht zu analysieren. Vom Rest des Definitionsbereichs wird ein Teil in dieses Intervall abgebildet und ein Teil muss getrennt analysiert werden.

Abgabe: Montag, 25.4.2005 in der Vorlesung