Prof. Roland Gunesch Sommersemester 2005

Übungen zur Vorlesung

Einführung in dynamische Systeme

Blatt 11

Aufgabe 1: Finden Sie eine Abbildung mit positiver topologische Entropie, welche keine periodischen Orbits hat.

Aufgabe 2: Seien (X_{1}, μ_{1}) und (X_{2}, μ_{2}) disjunkte Maßräume von Maß 1,

f_{1} : X_{1} → X_{1}, f_{2} : X_{2} → X_{2}

maßerhaltende Abbildungen darauf und (X, μ) der Maßraum von Maß 1 definiert durch

X = X_{1} ∪ X_{2}, μ = \frac{1}{2}μ_{1} + \frac{1}{2}μ_{2}.

Zeigen Sie: Die maß-theoretische Entropie der Abbildung f definiert durch

f(x) = \begin{cases}f_{1}(x) & für x ∈ X_{1} \\ f_{2}(x) & für x ∈ X_{2} \end{cases}

ist

h_{μ}(f) = max(h_{μ_{1}}(f_{1}), h_{μ_{2}}(f_{2})).

Aufgabe 3: Finden Sie die topologische Entropie der Abbildung

f : 𝕋^{n} → 𝕋^{n}, [(x_{1}, …, x_{n})] ↦ [(1x_{1}, …, nx_{n})].

Aufgabe 4:

a) Konstruieren Sie eine Menge, die zur Standard-Cantormenge homöomorph ist und Box-Dimension 0 hat. (So eine Menge heißt dünne Cantormenge).

b) Konstruieren Sie eine Teilenge von [0, 1], die zur Standard-Cantormenge homöomorph ist und Box-Dimension 1 hat. (So eine Menge heißt dicke Cantormenge).

Zusatzaufgabe:

a) Überlegen Sie sich gemeinsam einen passenden Termin und Ort für eine Abschlussfeier der Vorlesung „Einführung in dynamische Systeme“.

b) Erscheinen Sie dort und feiern Sie kräftig Ihre erfolgreiche Teilnahme an der Vorlesung!

c) Genießen Sie die Sommerferien.

Abgabe: Montag, 11.7.2005 in der Vorlesung