Prof. Roland Gunesch Sommersemester 2005

Übungen zur Vorlesung

Einführung in dynamische Systeme

Blatt 10

Aufgabe 1:

a) Berechnen Sie die Box-Dimensionen der Mengen A_{k} = \{\frac{1}{n^{k}} | n ∈ ℤ \ \{0\}\} für k ∈ ℕ.

b) Berechnen Sie die Hausdorff-Dimension von A_{k} und zeigen Sie, dass diese nicht mit der Box-Dimension übereinstimmt.

Aufgabe 2: Bestimmen Sie die topologische Entropie des Shiftoperators σ auf der Menge Ω_{N} aller zweiseitigen Sequenzen über dem Alphabet mit N Symbolen. Gehen Sie so vor:

a) Zeigen Sie: Für n, m ∈ ℕ ist der (unsymmetrische) Zylinder

Z_{α_{−m},...,α_{+m+n}} = {ω ∈ Ω | ∀i ∈ {−m, −m + 1, …, +m + n} : ω_{i} = α_{i}}

ein offener Ball von Radius λ^{−m} für die Orbit-Metrik (d_{λ})_{σ}^{n} um jeden seiner Punkte. Zur Erinnerung: Der (symmetrische) Zylinder Z_{α_{−m},...,α_{+m}} ist ein λ^{−m}-Ball für d_{λ}.

b) Wieviele solche Zylinder (abhängig von n, m) benötigen Sie, um Ω_{N} zu überdecken?

c) Berechnen sie nun die topologische Entropie.

Aufgabe 3:

a) Bestimmen Sie für k ∈ ℤ die topologische Entropie der Abbildung auf dem 1-Torus f : 𝕋^{1} → 𝕋^{1}, [x] ↦ [kx].

b) Wiederholen Sie die Berechnung auf dem n-Torus für f : 𝕋^{n} → 𝕋^{n}, [x] ↦ [kx]. Wie hängt das Ergebnis von der Dimension ab?

Aufgabe 4:

a) Finden Sie für alle a > 0 einen Maßraum X mit Gesamtmaß 1, eine Partition P von X und einen Punkt x ∈ X mit Information I_{P} (x) = a.

b) Gibt es für beliebige a_{1}, …, a_{n} > log n eine Partition P und Punkte x_{1}, …, x_{n} ∈ X mit I_{P} (x_{i}) = a_{i} für alle i? Auch für beliebige a_{1}, …, a_{n} > 0?

c) Bestimmt die (maß-theoretische) Entropie einer endlichen Partition die Maße der Elemente der Partition? D.h. gibt es n ∈ ℕ und p_{1} ≥ p_{2} ≥ ⋯ ≥ p_{n} > 0 und q_{1} ≥ q_{2} ≥ ⋯ ≥ q_{n} > 0 mit ∑_{i=1}^{n} p_{i} = 1 = ∑_{i=1}^{n} q_{i} und (p_{1}, …, p_{n}) ≠ (q_{1}, …, q_{n}), so dass für alle Partitionen P = {C_{1}, C_{2}, …, C_{n}} und Q = {D_{1}, D_{2}, …, D_{n}} von X mit μ(C_{1}) = p_{1}, …, μ(C_{n}) = p_{n} und μ(D_{1}) = q_{1}, …, μ(D_{n}) = q_{n} gilt: H(P) = H(Q)?

Tipp: Probieren Sie Zahlen in {2^{−m} | m ∈ ℕ}.

Abgabe: Montag, 4.7.2005 in der Vorlesung