Prof. Roland Gunesch Sommersemester 2005

Übungen zur Vorlesung Einführung in dynamische Systeme Blatt 1

Aufgabe 1:

a) Lösen Sie die Rekurrenzrelation von Leonardo da Pisa:

x_{n+1} = x_{n} + x_{n−1}, x_{0} = 1, x_{1} = 1.

Ansatz: Für die formale Potenzreihe F (z) = ∑_{k=0}^{∞} x_{k}z^{k} führt die Rekurrenzrelation zu einer Gleichung für formale Potenzreihen. Diese läßt sich mit der Partialbruchzerlegung

\frac{1}{(z − a)(z − b)} = \frac{A}{z − a} + \frac{B}{z − b}, A = \frac{1}{a − b} = −B

und der Formel \frac{1}{1−z} = ∑_{j=0}^{∞} z^{j} auf eine algebraische Gleichung reduzieren, die in diesem Fall leicht lösbar ist.

b) Beweisen Sie Ihre Formel per Induktion. Aufgabe 2:

a) Zeigen Sie: Für k ≤ 1 konvergieren alle Orbits der diskreten logistischen Gleichung x_{n+1} = kx_{n}(1 − x_{n}), x_{n} ∈ [0, 1]

gegen 0.

b) Für welche Orbits und welche Werte von k ist diese Konvergenz exponentiell (d.h. es gibt C ∈ ℝ, λ < 1 so dass für alle n gilt: x_{n} < Cλ^{n})? Aufgabe 3: Sei a_{n} := die letzte Ziffer von 2^{n} in Dezimaldarstellung, b_{n} := die letzten k Ziffern (k ∈ ℕ fest) und c_{n} := die erste Ziffer. Beweisen oder widerlegen Sie:

a) a_{n} ist periodisch mit Periode 4 und durchläuft die Folge 2,4,8,6.

b) b_{n} ist periodisch für jedes k.

c) c_{n} ist periodisch mit Periode 10 und durchläuft die Folge 2,4,8,1,3,6,1,2,5,1. Aufgabe 4: Finde eine offene Menge X in ℝ^{n} und eine Abbildung f : X → X so dass für alle x, y ∈ X gilt

d(f(x), f(y)) < \frac{1}{2}d(x, y)

und f dennoch keinen Fixpunkt in X hat. Abgabe: Montag, 18.4.2005 in der Vorlesung