Prof. Roland Gunesch Sommersemester 2005

Übungen zur Vorlesung

Einführung in dynamische Systeme

Blatt 9

Aufgabe 1: Bestimmen Sie die Selbstähnlichkeitsdimension folgender Mengen:

a) dem Menger-Schwamm in ℝ^{3}:

Lösung: Der Menger-Schwamm M besteht aus 20 Kopien von sich selbst, skaliert mit dem Faktor \frac{1}{3}, somit ist

dim_{S}(M) = \frac{log 20}{log 3}.

b) dem n-fachen Cantor-Staub C×⋯×C ⊂ ℝ^{n} (n-faches Produkt der Standard-Cantormenge C):

Lösung: Der n-fache Cantor-Staub C × ⋯ × C ⊂ ℝ^{n} besteht aus 2^{n} Kopien, skaliert mit dem Faktor \frac{1}{3}, somit ist

dim_{S}(C × ⋯ × C) = \frac{n log 2}{log 3}.

c) der Cantormenge C(λ), die entsteht, wenn aus [0, 1] das offene mittlere Intervall der Länge λ ∈ (0, 1) entfernt wird, aus jedem verbleibenden Intervall der Länge x wieder das offene mittlere Intervall der Länge λx ∈ (0, 1) entfernt wird usw.:

Lösung: Wenn wir aus (0, 1) ein Stück der Länge λ in der Mitte entfernen, bleiben zwei Stücke der Länge

s = \frac{1 − λ}{2}.

Also gilt: C(λ) besteht aus 2 Kopien, skaliert mit dem Faktor s, somit ist

dim_{S}(C(λ)) = \frac{log 2}{log \frac{2}{1−λ}} .

Damit läßt sich mittels geeigneter Wahl von λ ∈ (0, 1) jede Dimension in (0, 1) erreichen.

Aufgabe 2:

a) Zeigen Sie: Die Hausdorff-Dimension von einer abzählbaren Menge ist 0.

Lösung: Die Menge heiße A = {a_{1}, a_{2}, … }. Sei δ > 0. Überdecke A mit der abzählbaren Vereinigung der Mengen U_{i} := B_{δ·2^{−i−1}}(a_{i}). Dann ist

h_{δ}^{s} ≤ ∑_{i∈ℕ}(δ2^{−i})^{s}
= ∑_{i∈ℕ}δ^{s}(2^{s})^{−i}

≤ δ^{s} \frac{1}{1 − 2^{s}}

und somit beliebig klein, als gleich 0. Dies gilt für alle s > 0, also ist die Hausdorff-Dimension Null.

b) Konstruieren Sie eine Menge A ⊂ ℝ^{n} mit Box-Dimension n und Hausdorff-Dimension 0.

Lösung: Sei A eine Abzählung von [0, 1]^{n}∩ℚ^{n}. Dann gilt wegen dim_{B}(A) = dim_{B}(\overline{A}), dass dim_{B}(A) = dim_{B}([0, 1]^{n}) = n, und da A abzählbar ist, gilt wegen Teilaufgabe (a), dass dim_{H}(A) = 0.

Aufgabe 3: Sei h^{d} das d-dimensionale Hausdorff-Maß. Konstruieren Sie für jedes d ∈ [0, ∞):

a) eine Menge A mit h^{d}(A) ∈ (0, ∞):

Lösung: Die geänderte Cantor-Menge C(λ) liefert für jedes d ∈ (0, 1) eine Menge A_{d} mit der gesuchten Eigenschaft.

Jedes r ∈ (0, ∞) läßt sich schreiben als r = kd mit k ∈ ℕ, d ∈ (0, 1). Daher hat A_{d} × ⋯ × A_{d} (k-mal) die gesuchte Dimension kd = r. Es gilt hier die Produktformel für die Hausdorff-Dimension, da A_{d} abgeschlossen ist.

Alternativ kann man auch r = k + d schreiben mit k ∈ ℕ, d ∈ (0, 1) und A = A_{d} × [0, 1]^{k} benutzen. Es gilt hier wieder die Produktformel, da A_{d} (und [0, 1]^{k}) abgeschlossen ist.

Wir können sogar den Wert von h^{d}(A) ∈ (0, ∞) aussuchen, denn bei Skalierung mit dem Faktor s gilt h^{d}(sA) = s^{d}h^{d}(A).

Für d = 0 hat die einpunktige Menge A = {p} die gesuchte Eigenschaft.

b) eine Menge A mit Hausdorff-Dimension d und h^{d}(A) = 0:

Lösung: Für d > 0 setze z.B. A := ⋃_{i∈ℕ} \frac{1}{i}A_{d−d/i} (disjunkte Vereinigung der A_{d−d/i}, skaliert mit \frac{1}{i}). Dann gilt

dim_{H}(A) = sup_{i∈ℕ}dim_{H}(A_{d−d/i}) = d.

Weiterhin gilt: h^{d}(A_{d−d/i}) = 0, somit h^{d}(A) = 0.

Für d = 0 bietet sich die leere Menge an, für die gilt, dass h^{d}(∅) = 0 für alle s ≥ 0. Je nach Definitionsformulierung hat die leere Menge entweder Dimension 0 (und löst damit diese Aufgabe) oder Dimension −∞ (und dann gibt es keine Lösung). c) eine Menge A mit Hausdorff-Dimension d und h^{d}(A) = ∞: Lösung: Für d > 0 setze z.B. A := ⋃_{i∈ℕ} iA_{d} (disjunkte Vereinigung der A_{d}, skaliert mit i). Dann gilt

dim_{H}(A) = sup_{i∈ℕ}dim_{H}(iA_{d}) = d.

Weiterhin gilt: h^{d}(A_{d}) > 0, somit h^{d}(A) > ih^{d}(A_{d}) , also h^{d}(A) = ∞. Für d = 0 wähle eine abzählbare Menge. Aufgabe 4:

a) Zeigen Sie: Es gibt Mengen, so dass die Summe der Hausdorff-Dimensionen kleiner ist als die Hausdorff-Dimension des Produkts. Tipp: Untersuchen Sie folgende A, B ⊂ [0, 1]:

A = {0.x_{1} … x_{n_{1}}0 … 0x_{n_{2}+1} … x_{n_{3}}0 … 0x_{n_{4}+1} … x_{n_{5}} … }
= {x | (x_{n_{1}+1} … x_{n_{2}}) = (0 … 0), (x_{n_{3}+1} … x_{n_{4}}) = (0 … 0), … },
B = {0.0 … 0x_{n_{1}+1} … x_{n_{2}}0 … 0x_{n_{3}+1} … x_{n_{4}} … }
= {x | (x_{1} … x_{n_{1}}) = (0 … 0), (x_{n_{2}+1} … x_{n_{3}}) = (0 … 0), … }

Zeigen Sie, dass für eine schnell wachsende Folge (n_{i})_{i∈ℕ} gilt:

dim_{H}(A) = 0, dim_{H}(B) = 0, dim_{H}(A × B) = 1.

Lösung: A wird überdeckt von 10^{n_{i−1}} Bällen der Größe 2 · 10^{−n_{i}} für i ungerade. Somit ist

h^{s}(A) ≤ ∑_{i} diam(U_{i})^{s}
≤ 10^{n_{i−1}}(2 · 10^{−n_{i}})^{s}
= 2^{s}10^{n_{i−1}−sn_{i}}.

Wähle s_{i} = 1/i und n_{i} > 2n_{i−1}/s_{i}, z.B. n_{i} = i^{2}n_{i−1}. Dann gilt

h^{1/i}(A) ≤ 10^{−n_{i}}

und somit

dim_{H}(A) = 0.

Analog zeigen wir dim_{H}(B) = 0 (durch Ersetzen des Wortes „gerade“ durch das Wort „ungerade“ und von A durch B in obigem Argument). Weiterhin ist A × B = [0, 1] und hat somit die Dimension 1. (Genauer: Die Abbildung A × B → [0, 1], (a, b) ↦ a + b ist 1-Lipschitz und surjektiv, somit ist dim_{H}(A × B) ≥ dim_{H}([0, 1]) = 1.)