Prof. Roland Gunesch Sommersemester 2005

Übungen zur Vorlesung

Einführung in dynamische Systeme

Lösungen zu Blatt 6

Aufgabe 1:

a) Beweisen Sie: Wenn die Abbildung f zu der Abbildung f̃ C^{k}-konjugiert ist (k ≥ 0) und die Abbildung g zu g̃, dann auch die Produktabbildung f × g zu f̃× g̃. (Für zwei Abbildungen f, g ist die Produktabbildung gegeben durch (f × g)((x, y)) = (f(x), g(y)).)

Lösung: Wenn h, h′ C^{k}-Diffeomorphismen sind (bzw. Homöomorphismen für k = 0) dann ist auch h × h′ wieder ein solcher: Bijektivität folgt aus der Bijektivität von h, h′. Wenn h, h′ C^{k} sind, dann auch das Produkt, und wenn h^{−1}, h^{′−1} C^{k} sind, dann auch h^{−1} × h^{′−1}.

Wenn nun gilt

f ∘ h = h ∘ f̃,
g ∘ h′ = h′ ∘ g̃

dann folgt

(f × g) ∘ (h × h′) = (h × h′) ∘ (f̃× g̃).

b) Beweisen Sie: Wenn der Fluss φ zu dem Fluss φ̃ C^{k}-konjugiert ist (k ≥ 0) und der Fluss ψ zu ψ̃, dann auch der Produktfluss φ × ψ zu φ̃ × ψ̃. (Der Produktfluss von zwei Flüssen φ, ψ ist (φ × ψ)_{t}((x, y)) = (φ_{t}(x), ψ_{t}(y)).)

Lösung: Dasselbe Argument wie in Teilaufgabe (a) mit f ersetzt durch φ_{t} usw. liefert eine Konjugation h für jeden Wert von t. Diese h sind alle gleich wegen der Flusseigenschaft, denn wenn φ_{t} = h^{−1} ∘ ψ_{t} ∘ h, dann gilt das auch für Vielfache von t.

c) Widerlegen Sie: Wenn der Fluss φ zu dem Fluss φ̃ Orbit-äquivalent ist und der Fluss ψ zu ψ̃, dann auch der Produktfluss φ × ψ zu φ̃ × ψ̃.

Lösung: Sei auf 𝕋^{1} folgende Flüsse definiert:

φ_{t}([x]) = [x + t], φ̃ = φ = ψ, ψ_{t}(x) = [x + πt].

Dann ist φ trivialerweise zu φ̃ = φ Orbit-äquivalent. ψ̃ ist zu ψ Orbit-äquivalent, da ψ̃_{t} = ψ_{σ(t)} mit σ(t) := π ·t. Orbit-Äquivalenz bildet periodische Orbits auf periodische Orbits ab. Aber für den Produktfluss φ × ψ ist jedes Orbit periodisch mit Periode 1, während φ̃ × ψ̃ keine periodischen Orbits hat (siehe auch letztes Übungsblatt).

Aufgabe 2: Beweisen Sie: Die Poincaréabbildung einer Suspension ist topologisch konjugiert zu der ursprünglichen Abbildung.

D.h. wenn f : M → M ein Diffeomorphismus ist ist, ψ der Suspensionsfluss auf X = (M × [0, 1])/ ∼ mit (x, 1) ∼ (f(x), 0), wenn s ∈ [0, 1] und S := {[(x, s)] : x ∈ M} ⊂ X, dann ist S ein globaler Schnitt von ψ und die die Poincaré-Abbildung P auf S erfüllt P = h^{−1} ∘ f ∘ h mit einem Homöomorphismus h : S ↦ M.

Lösung:

h : S → M, [(x, s)] ↦ \begin{cases}x & für s ∈ [0, 1) \\ f(x) & für s = 1 \end{cases}

ist eine wohldefinierte Abbildung. Es gilt

P ([x, s]) = [(f(x), s]

und somit

P = h^{−1} ∘ f ∘ h.

h ist ein Homöomorphismus, da bijektiv, stetig und die Umkehrabbildung h^{−1} : x ↦ [(x, s)] stetig.

Aufgabe 3: Widerlegen Sie: Die Suspension einer Poincaréabbildung ist topologisch konjugiert zu dem ursprünglichen Fluss.

D.h. finden Sie einen Fluss φ, einen globalen Schnitt S, die zugehörige Poincaré-Abbildung P : S → S und den Suspensionsfluss ψ von P, so dass es keinen Homöomorphismus h gibt, so dass für alle x, t gilt: φ_{t}(x) = h^{−1}(ψ_{t}(h(x))).

Lösung: Der Fluss φ zu

ṙ = 0, θ̇ = r

(in Polarkoordinaten), oder allgemeiner

ṙ = 0, θ̇ nicht konstant in r,

definiert auf X = ℝ^{2} \ {0} einen Fluss mit globalem Schnitt S = {(x, 0) : x ≥ 0}. Alle Orbits sind periodisch, aber mit verschiedenen Perioden.

Es gilt P (u) = u für alle u ∈ S. Somit sind für den Suspensionsfluss ψ alle Orbits auf (S × [0, 1])/ ∼ periodisch mit Periode 1. Da topologische Konjugation die Periodenlänge unverändert läßt, sind φ und ψ nicht topologisch konjugiert.

Aufgabe 4: Beweisen oder widerlegen Sie: Die Suspension einer Poincaréabbildung ist Orbit-äquivalent zu dem ursprünglichen Fluss.

Wenn X = 𝕋^{2}, S = {[(0, y)] : 0 < y < 1 = 2}, varphi_{t}(u) = u + t(1, π/100), dann ist die Wiederkehrzeit unstetig und es liegt ein Orbit von S nach S mit Wiederkehrzeit 100/2π direkt neben solchen mit Wiederkehrzeit 1, die beliebig nahe sind. Dort wird jede Bijektion h unstetig. Damit gibt es auch keine Orbit-Äquivalenz.

Wenn dagegen zusätzlich noch die Wiederkehrzeit als stetig angenommen wird, gibt es eine Orbit-Äquivalenz.