Prof. Roland Gunesch Sommersemester 2005

Übungen zur Vorlesung Einführung in dynamische Systeme Lösungen zu Blatt 5

Aufgabe 1: Sei a ∈ ℝ^{n}, a_{1} ≠ 0 und der Fluss φ auf 𝕋^{n} definiert durch

φ_{t}([x]) := [x + ta].

Sei

S := {[y] : y_{1} = 0}.

a) Wie groß ist für x ∈ S die Wiederkehr-Zeit τ(x) = min{t > 0 : φ_{t}(x) ∈ S}? Lösung: Die erste Koordinate von x ist [x_{1}] = 0. Wenn die erste Koordinate von φ_{t}([x]) = [x + ta] gleich der ersten Koordinate von x (also Null) ist, gilt (x_{1} + ta_{1}) − x_{1} ∈ ℤ, also t ∈ \frac{1}{a_{1}} ℤ. Somit ist

τ(x) = min \{t > 0 : t ∈ \frac{1}{a_{1}} ℤ\} = \frac{1}{|a_{1}|},

unabhängig von x.

b) Bestimmen Sie die Poincaré-Abbildung auf S. Lösung: Es gilt

P = φ_{τ} = φ_{\frac{1}{|a_{1}|}} : S → S,

[(0, x_{2}, …, x_{n})] ↦ [(0, x_{2} + \frac{a_{2}}{|a_{1}|}, …, x_{n} + \frac{x_{n}}{|a_{1}|})] .

c) Für welche a hat der Fluss periodische Orbits? Welche? Mit welcher Periode? Lösung: P ist periodisch genau dann, wenn

\frac{a_{2}}{|a_{1}|} ∈ ℚ, …, \frac{a_{n}}{|a_{1}|} ∈ ℚ.

Also gibt es p_{2}, …, p_{n} ∈ ℤ, q_{2}, …, q_{n} ∈ ℕ mit

\frac{a_{2}}{|a_{1}|} = \frac{p_{2}}{q_{2}} , …, \frac{a_{n}}{|a_{1}|} = \frac{p_{n}}{q_{n}} .

Jede Zahl k > 0 mit

k · (\frac{a_{2}}{|a_{1}|}, …, \frac{a_{n}}{|a_{1}|}) ∈ ℤ^{n−1}

ist eine Periode von P. Für jedes solche k gilt:

q_{2}|k, …, q_{n}|k

und somit ist die kleinste Periode von P gleich dem größten gemeinsamen Teiler von q_{2}, …, q_{n}, also

k = ggT(q_{2}, …, q_{n}).

Aufgabe 2: Sei a ∈ ℝ^{n} und die Abbildung f auf 𝕋^{n} definiert durch

f([x]) := [x + a].

Für welche a hat die Abbildung periodische Orbits? Welche? Mit welcher Periode? (Vorsicht: Dies ist nicht dasselbe wie in der vorigen Aufgabe.)

Lösung: f hat periodische Orbits genau dann, wenn

a ∈ ℚ^{n},

also

a = (a_{1}, …, a_{n}) = (\frac{p_{1}}{q_{1}} , …, \frac{p_{n}}{q_{n}} )

mit p_{2}, …, p_{n} ∈ ℤ, q_{2}, …, q_{n} ∈ ℕ. Jetzt ist jede Zahl k > 0 mit

ka ∈ ℤ^{n}

eine Periode von P. Für jedes solche k gilt:

q_{1}|k, …, q_{n}|k

und die kleinste Periode ist jetzt gleich dem größten gemeinsamen Teiler von q_{1}, …, q_{n}, also

k = ggT(q_{1}, …, q_{n}).

Aufgabe 3: Sei φ ein Fluss, S ein (globaler) Schnitt von φ, und P die Poincaré-Abbildung auf S. Zu beweisen oder widerlegen:

a) Jedes periodische Orbit von φ enthält einen Fixpunkt von P.

Lösung: Widerlegung: Sei X = ℝ^{2} \ {0} und φ der Fluss auf X zur Differentialgleichung

ṙ = 0, θ̇ = 1 (in Polarkoordinaten)

beziehungsweise

φ_{t} (\binom{x_{1}}{x_{2}}) = (\begin{matrix}cos t & sin t \\ − sin t & cos t \end{matrix}) · \binom{x_{1}}{x_{2}}

in kartesischen Koordinaten, und sei

S = (ℝ \ \{0\}) × \{0\} = \{\binom{x_{1}}{x_{2}} : x_{1} ≠ 0, x_{2} = 0\} .

Dann ist jedes Orbit von φ periodisch (kreisförmig), aber es gilt für alle x ∈ X :

τ(x) = π, P (x) = −x

und somit ist x kein Fixpunkt.

b) Jedes periodische Orbit von φ enthält ein periodisches Orbit von P.

Lösung: Beweis: Es gilt φ_{t_{0}}(x_{0}) = x_{0} für ein t_{0} > 0, x_{0} ∈ X. Da jedes Orbit S durchquert, können wir annehmen, dass x_{0} ∈ S. Definiere die Folge x_{i+1} := P (x_{i}) ∈ S. Zu zeigen ist, dass die Folge endlich ist. Wir nehmen an, die Folge wäre unendlich. Dann gilt τ(x_{i}) → 0 für i → ∞. Da K := φ_{[0,t_{0}]}(x_{0}) kompakt ist und alle Folgenglieder enthält, gibt es einen Häufungspunkt x^{∗} ∈ K. Wegen dem flow-box-Satz gibt es eine offene Umgebung U von x^{∗}, so dass der Fluss C^{1}-konjugiert ist zum Einheitsrichtungsfluss auf V offen in ℝ^{n}, also gibt es einen Würfel der Kantenlänge ε > 0 in V um h(x^{∗}), und somit gilt τ(x) > ε in einer Umgebung von x^{∗} in S, im Widerspruch zu τ(x_{i}) → 0 für i → ∞.

c) Jedes periodische Orbit von P ist enthalten in einem periodischen Orbit von φ.

Lösung: Beweis: Wenn P^{k}(x_{0}) = x_{0} ist für x_{0} ∈ S, dann gibt es x_{1}, …, x_{k} = x_{0} ∈ S, so dass für alle i = 0, …, n − 1 gilt: P (x_{i}) = x_{i} + 1. Da P (x) = φ_{τ(x)}(x), gilt also

φ_{τ(x_{i})}(x_{i}) = x_{i} + 1

und somit

φ_{τ(x_{0})+···+τ(x_{n−1})}(x_{0}) = x_{0},

also ist x_{0} periodisch für den Fluss φ.

Aufgabe 4: Sei f : U → U ein Diffeomorphismus, U offen in ℝ^{n}. Zu zeigen: Die Formel für die Suspension von f, nämlich

ψ_{t}([(x, θ)]) := [(f^{⌊t+θ⌋}(x), t + θ − ⌊t + θ⌋)]

mit ⌊a⌋ := max{k ∈ ℤ : k ≤ a} definiert einen Fluss (d.h. ψ_{0} =id, ψ_{s+t} = ψ_{s} ∘ ψ_{t} für alle s, t ∈ ℝ). Der Fluss ist definiert auf (U × [0, 1])/ ∼, wobei

(x, 1) ∼ (f(x), 0).

Lösung: Erstens gilt für θ ∈ [0, 1), dass

ψ_{0}([(x, θ)]) = [(f^{⌊0+θ⌋}(x), 0 + θ − ⌊0 + θ⌋)]
= [(f^{0}(x), θ − 0)]
= [(x, θ)].

Weiterhin gilt für alle r ∈ ℝ und k ∈ ℤ, dass

r + k − ⌊r + k⌋ = r − ⌊r⌋.

Folglich ist

ψ_{s}(ψ_{t}([(x, θ)])) = ψ_{s}([(f^{⌊t+θ⌋}(x), t + θ − ⌊t + θ⌋)])
= [(f^{⌊s+t+θ−⌊t+θ⌋⌋}(f^{⌊t+θ⌋}(x)), t + θ − ⌊t + θ⌋ + s − ⌊t + θ − ⌊t + θ⌋ + s⌋)])
= [(f^{⌊t+θ⌋+⌊s+t+θ⌋−⌊t+θ⌋⌋}(x), s + t + θ − ⌊s + t + θ⌋)]
= ψ_{s+t}([(x, θ)]).