Prof. Roland Gunesch Sommersemester 2005

Übungen zur Vorlesung

Einführung in dynamische Systeme

Lösungen zu Blatt 4

Aufgabe 1:

a) Das zugehörige Vektorfeld

f(u) = \frac{d}{dt}(u_{1}, …, u_{2n}) = (\frac{∂H}{∂u_{n+1}} , …, \frac{∂H}{∂u_{2n}} , −\frac{∂H}{∂u_{1}} , …, −\frac{∂H}{∂u_{n}} )

hat Divergenz

divf = \frac{∂^{2}H}{∂u_{n+1}du_{1}} + ⋯ + \frac{∂^{2}H}{∂u_{2n}du_{n}} − \frac{∂^{2}H}{∂u_{1}du_{n+1}} − ⋯ − −\frac{∂^{2}H}{∂u_{n}du_{2n}} = 0.

b) Zu zeigen ist, dass H(φ_{t}(u)) = H(u) für alle t ∈ ℝ ist, wobei φ der Hamilton-Fluss ist. Es ist

\frac{d}{dt}H(u) = \frac{∂H}{∂u_{1}} u̇_{1} + ⋯ + \frac{∂H}{∂u_{2n}} u̇_{2n}
= \frac{∂H}{∂u_{1}} \frac{∂H}{∂u_{n+1}} + ⋯ + \frac{∂H}{∂u_{n}} \frac{∂H}{∂u_{2n}} − \frac{∂H}{∂u_{n+1}} \frac{∂H}{∂u_{1}} − ⋯ − \frac{∂H}{∂u_{2n}} \frac{∂H}{∂u_{n}}
= 0.

Aufgabe 2:

a) M_{c} := f^{−1}(c) ist nach Voraussetzungen eine geschlossene Kurve. Zunächst ist das Vektorfeld f(u) = u̇ tangential an die Kurve, denn f(u) ist nach Konstruktion sekrecht zum Gradient von H und dieser senkrecht zu den Niveaulinien. Somit bleibt jedes Orbit, das auf M_{c} beginnt, auch auf M_{c}. Nach Voraussetzung enthält M_{c} keine kritischen Punkte, also ist

0 < min_{u∈M_{c}} ||f(u)|| =: K.

Wegen der Annahmen an H ist diese Kurve stetig differenzierbar, hat also endliche Länge L. Somit muss das Orbit spätestens nach Zeit L/K wieder auf sich selbst treffen. Somit ist es periodisch (Siehe auch Aufgabe 3).

b) Für alle x ∈ ℝ^{3} gilt, dass

0 = L̇ = −mẍ ∧ x,

genau dann, wenn für alle x gilt, dass f(x) parallel zu x ist, somit f ein Zentralkraftfeld.

Aufgabe 3:

a) Wenn die Orbits (φ_{t}(x_{0}))_{t∈ℝ}, (φ_{t}(x_{1}))_{t∈ℝ} sich schneiden, so gibt es t_{0}, t_{1} ∈ ℝ mit φ_{t_{0}}(x_{0}) = φ_{t_{1}}(x_{1})). Wegen der Flusseigenschaften gilt dann φ_{t_{0}−t_{1}}(x_{0}) = x_{1}. b) Wenn

φ_{r}(u_{0}) = u_{0}

ist, gilt wegen der Flusseigenschaften für jeden Punkt u_{t} = φ_{t}(u_{0}) im Orbit von u_{0}, dass

φ_{r}(u_{t}) = φ_{r+t}(u_{0}) = φ_{t}φ_{r}(u_{0}) = φ_{t}u_{0} = u_{t}.

Aufgabe 4:

a) Da das homokline Orbit gegen einen Fixpunkt x^{∗} konvergiert, gilt für jedes x_{0} auf diesem Orbit, dass für alle n bzw. t, die außerhalb eines endlichen Intervalls liegen, f^{n}(x_{0}) bzw. φ_{t}(x_{0}) in einer ε-Umgebung von x^{∗} liegen. Für ε < d(x_{0}, x^{∗})/2 kommt das Orbit also nicht mehr in eine ε-Umgebung von x_{0} zurück.

b) Alle Orbits außer den homoklinen sind periodisch und somit alle Punkte darauf rekurrent.