Prof. Roland Gunesch Sommersemester 2005

Übungen zur Vorlesung

Einführung in dynamische Systeme

Lösungen zu Blatt 3

Aufgabe 1:

a) Für jedes μ > r(A) gibt es eine Lyapunov-Norm ||.||_{L} mit ||A||_{L} < μ. Somit folgt ||A^{n}||_{L} ≤ ||A||_{L}^{n} < μ^{n}. Da in einem endlich-dimensionalen Raum alle Normen äquivalent sind, gilt ||A^{n}|| < Cμ^{n} für jede Norm. Als Limes ergibt sich lim_{n→∞} ||A^{n}||^{1/n} ≤ μ. Da dies für alle μ > r(A) gilt, folgt lim_{n→∞} ||A^{n}||^{1/n} ≤ r(A). Die umgekehrte Abschätzung ist analog, da ||A^{n}v|| = r(A)^{n}||v|| ist, somit für die Operatornorm ||A^{n}|| ≥ r(A)^{n} gilt, also für eine beliebige Norm ||A^{n}|| ≥ Cr(A)^{n} und lim_{n→∞} ||A^{n}||^{1/n} ≥ r(A).

b) Der Spektralradius ist < 1 und somit A eine Kontraktion, E^{s} = ℝ^{n}, E^{u} = {0} = E^{0}, also dim(E^{s}) = n, dim(E^{u}) = dim(E^{0}) = 0.

Aufgabe 2:

a) Es gibt überabzählbar viele unendliche Folgen in {0, 2}. Wenn

(a_{n})_{n∈ℕ} ≠ (b_{n})_{n∈ℕ},

dann ist

∑_{n∈ℕ_{0}} a_{n}3^{−n} ≠ ∑_{n∈ℕ_{0}} b_{n}3^{−n},

denn wenn k die erste Stelle ist, an der sich a und b unterscheiden, dann ist

| ∑_{n∈ℕ_{0}} a_{n}3^{−n} − ∑_{n∈ℕ_{0}} b_{n}3^{−n}| ≥ 3^{−k} − ∑_{n>k} 2 · 3^{−n} > 0.

b)

f( ∑_{n∈ℕ_{0}} a_{n}3^{−n}) := ( ∑_{n∈ℕ_{0}} a_{2n}3^{−2n}, ∑_{n∈ℕ_{0}} a_{2n+1}3^{−(2n+1)})

ist bijektiv, da

f^{−1}(( ∑_{n∈ℕ_{0}} a_{n}3^{−n}, ∑_{n∈ℕ_{0}} b_{n}3^{−n}) = ∑_{n∈ℕ_{0}} c_{n}3^{−n}

mit

c_{n} = \begin{cases}a_{n/2} für n gerade \\ b_{(n−1)/2} für n ungerade . \end{cases}

f ist stetig: Für ε > 0 sei k so groß, dass 3^{−k} < 2ε und wähle 0 < δ < 3^{−2k} −∑_{n>2k} 2·3^{−n} > 0. Dann gilt für x = ∑_{n∈ℕ_{0}} a_{n}3^{−n}, y = ∑_{n∈ℕ_{0}} b_{n}3^{−n} mit |x − y| < δ, dass die ersten 2k Stellen von x und y übereinstimmen. Somit ist

|f(x) − f(y)| ≤ | ∑_{n∈ℕ_{0}}(a_{2n} − b_{2n})3^{−2n}| + | ∑_{n∈ℕ_{0}}(a_{2n+1} − b_{2n+1})3^{−(2n+1)}|
= | ∑_{n>k}(a_{2n} − b_{2n})3^{−2n}| + | ∑_{n>k}(a_{2n+1} − b_{2n+1})3^{−(2n+1)}| < ε.

f^{−1} ist stetig: Für ε > 0 sei k so groß, dass 3^{−k} < ε und wähle 0 < δ < 3^{−k} −∑_{n>k} 2·3^{−n} > 0. Dann gilt für x = (∑_{n∈ℕ_{0}} a_{n}3^{−n}, ∑_{n∈ℕ_{0}} b_{n}3^{−n}), y = (∑_{n∈ℕ_{0}} a′_{n}3^{−n}, ∑_{n∈ℕ_{0}} b′_{n}3^{−n}) mit |x − y| < δ in der Summennorm, dass die ersten k Stellen von x und y in beiden Koordinaten übereinstimmen. Somit ist

|f^{−1}(x) − f^{−1}(y)| ≤ ∑_{n∈ℕ_{0}} |c_{n} − c′_{n}|3^{−n} < ∑_{n>k} |c_{n} − c′_{n}|3^{−n} < ε.

mit

c_{n} = \begin{cases}a_{n/2} für n gerade \\ b_{(n−1)/2} für n ungerade , \end{cases}

c′_{n} = \begin{cases}a′_{n/2} für n gerade \\ b′_{(n−1)/2} für n ungerade . \end{cases}

Aufgabe 3:

a) Für differenzierbare Funktionen θ ist das klar, da

det Df = det (\begin{matrix}1 & 0 \\ \frac{dθ}{dx} & 1 \end{matrix}) ≡ 1.

Es gilt aber auch für beliebige Funktionen θ, da das Volumenelement auf dem Torus gleich dem Volumenelement dvol = dxdy im ℝ^{2} ist und daher

vol(f(A)) = ∫_{x∈[0,1)} ∫_{y∈[0,1),(x,y)∈f(A)} = ∫_{x∈[0,1)} ∫_{y∈[0,1),(x,y−θ)∈A} = ∫_{x∈[0,1)} ∫_{y∈[0,1),(x,y)∈A} = vol(A).

b)

det Df = det (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 + \frac{dθ}{dx} \end{matrix}) ,

was z.B. für θ(y) = cos(y)^{2} nicht ≡ 1 ist.

Aufgabe 4:

a) divf = 0.

b) divf = a + b; dies ist genau für a = −b Null, unabhängig von x, y.