Prof. Roland Gunesch Sommersemester 2005

Übungen zur Vorlesung

Einführung in dynamische Systeme

Lösungen zu Blatt 2

Aufgabe 1:

a) Die Matrix hat Eigenwerte \frac{1±\sqrt{5}}{2}. Davon ist einer vom Betrag > 1, also der zugehörige Eigenraum expandierend und somit der Fixpunkt x = 0 von f weder Poisson- noch asymptotisch stabil.

b) Die Eigenwerte sind −1 ± i/2, somit beide Realteile negativ und damit der Fixpunkt attraktiv, somit asymptotisch und Poisson stabil.

c) Für jedes x ∈ ℝ^{2} und alle n ∈ ℕ gilt ||f^{n}(x)||_{2} = ||x||_{2}. Also ist der Fixpunkt Poisson-, aber nicht asymptotisch stabil.

Aufgabe 2:

a) Die Eigenwerte erfüllen

|λ_{1}| < 1 < |λ_{2}|,

also ist der Fixpunkt x = 0 ein hyperbolischer Sattel. Die Eigen-

richtung ℝ · (\begin{matrix}(−1 − \sqrt{5})/2 \\ 1 \end{matrix}) zum Eigenwert λ_{1} = (1 − \sqrt{5})/2 kon-

trahiert, alle anderen Punkte nähern sich asymptotisch der Geraden

ℝ · (\begin{matrix}(−1 + \sqrt{5})/2 \\ 1 \end{matrix}).

b) Die Eigenwerte sind \frac{3±\sqrt{5}}{2} mit Eigenvektoren

(\begin{matrix}(1 ± \sqrt{5})/2 \\ 1 \end{matrix}) .

Die Eigenwerte erfüllen |λ_{1}| < 1 < |λ_{2}|, also ist der Fixpunkt x = 0 ein hyperbolischer Sattel.

Aufgabe 3:

a) Beide Eigenvektoren haben positiven Realteil, also ist x = 0 ein abstoßender Knoten. Insbesondere hat das Verhalten der Orbits für dieses System nichts mit dem des Systems in Aufgabe 2a zu tun.

b) Beide Eigenvektoren haben positiven Realteil, also ist x = 0 wieder ein abstoßender Knoten. Und wieder ist Verhalten der linearen Differentialgleichung ganz anders als das Verhalten des linearen Systems (Aufgabe 2b) mit derselben Matrix.

Aufgabe 4:

a) Die Fixpunkte sind 0 und x^{∗} := 1 − 1/k, was für k ∈ (1, 4] ein von 0 verschiedener Fixpunkt in [0,1] ist.

Es gilt f′(x) = k(1−2x), also f′(x^{∗}) = 2−k. Somit ist x^{∗} für 1 < k < 3 ein attraktiver Fixpunkt (und auch für k ≤ 1, denn das wurde ja schon auf Übungsblatt 1 gezeigt), für 3 < k ≤ 4 ein abstoßender Fixpunkt.

Für k = 3 gilt f′(x^{∗}) = −1, so dass nicht offensichtlich ist, ob x_{0} anziehend oder abstoßend ist. Generell gilt aber: Ist

f(x^{∗} + h) = x^{∗} − h + ah^{2} + o(h^{2}),

dann ergibt Einsetzen, dass

f^{2}(x^{∗} + h) = x^{∗} + h − 2ah^{2} + o(h^{2}).

Also gilt für g = f^{2}, dass g(x) < x für x ∈ (x^{∗}, x^{∗} + ε) und g(x) < x für x ∈ (x^{∗} − ε, x^{∗}) und somit ist für g (also auch für f) der Punkt x^{∗} von rechts (aber nicht von links) anziehend und nach links (aber nicht nach rechts) abstoßend. Insgesamt ist x^{∗} für k = 3 also weder anziehend noch abstoßend.

b) Für k ≤ 2 ist x_{0} ≤ 1/2, das Maximum von f liegt bei x = 1/2, f(x) > x auf (0, x^{∗}), und es ist f monoton steigend auf (0, x^{∗}). Somit konvergiert jedes Orbit mit Startwert in (0, x^{∗}) mononton gegen x^{∗}.

Ebenso konvergiert jedes Orbit mit Startwert in (x^{∗}, 1/2) gegen x^{∗}, da f hier ebenfalls monoton steigend ist und f(x) < x auf diesem Intervall.

Für x ∈ (x^{∗}, 1) ist f(x) ∈ (0, x^{∗}), somit gilt ab da das obige Argument wieder.

Die Punkte x = 0, x = 1 konvergieren offensichtlich gegen x = 0.